RESUMO

Analisando campos vetoriais definidos no toro bidimensional, cujas órbitas são retas, observa-se que as órbitas serão periódicas ou densas no toro. A partir desse exemplo bastante conhecido, conjecturou-se que as órbitas de qualquer campo vetorial contínuo não singular definido no toro bidimensional teriam órbitas periódicas ou todas as órbitas seriam ergódicas. Em seu artigo de 1932, publicado no "Journal de mathématiques pures et appliquées" Arnaud Denjoy mostrou que a conjectura era válida para campos vetoriais não singulares de classe C^r, com r>1, e apresentou um contraexemplo para a conjectura no caso r=1, construindo um campo vetorial não singular, de classe C^1, que não possui órbitas periódicas nem densas no toro. Neste trabalho procuramos estudar esse resultado a fundo. Iniciamos definindo o toro flat a partir de relações de equivalência e estudamos o caso linear, no qual as órbitas são retas e verificamos que a projeção de tais retas no toro apresenta órbitas periódicas ou densas, dependendo do coeficiente angular dessa reta ser racional ou não. Neste ponto do trabalho utilizamos o software de geometria dinâmica GeoGebra para visualizar propriedades do toro flat e de tais campos vetoriais. A seguir definimos precisamente os conceitos de campos vetoriais, trajetórias, órbitas e ergodicidade. Por fim, passamos ao desenvolvimento das ferramentas necessárias para estudar a prova de Denjoy e a construção do contraexemplo. Através de um estudo cuidadoso de difeomorfismos de classe C^r, definidos no círculo S^1, que preservam orientação e ferramentas de análise tais como: a existência de funções de corte suaves, convergência de séries e teorema de função inversa concluímos essa etapa do trabalho. O próximo passo nesse projeto é estudar a conjectura de Seifert, que afirma essencialmente o mesmo resultado para a esfera S^3, ou seja, se qualquer campo vetorial contínuo definido em S^3 possui órbita periódica. Adiantamos que um contraexemplo para esse resultado foi apresentado, em 1972, por Paul Schweitzer (na classe C^1) e mais tarde por Krystyna Kuperberg (para campos suaves).

Palavras-chave: Campos Vetoriais, Toro, Trajetórias