RESUMO

Nosso objetivo neste trabalho é apresentar como se dá a classificação dos sistemas de raízes irredutíveis, e sua relação com os diagramas Dynkin conexos. Fixemos um espaço euclidiano E, isto é, um espaço vetorial de dimensão finita sobre R com uma forma bilinear simétrica positiva definida. Geometricamente, uma reflexão em E é uma transformação linear inversível que mantém, pontualmente, um hiperplano H fixo, e que a cada vetor ortogonal à H associa o seu vetor oposto. As reflexões são transformações lineares ortogonais, isto é, são transformações que preservam produto interno. Dizemos que um subconjunto F do espaço euclidiano E é um sistema de raízes se: é um conjunto finito, gera o espaço E, e não possui o elemento neutro, além disso, se v é um elemento os únicos múltiplos de v que podem estar em F são o próprio v e seu oposto, além disso, a reflexão associada a v deixa F invariante, e por fim, se u e v são dois elementos de F, então existe um número k inteiro tal que 2(v, u) = k(u,u). Cada um dos elementos desse conjunto será chamado de raiz. Pode-se provar que a cada par de raízes podemos obter outro par a partir de sua soma e diferença, isto é fundamental na construção da estrutura de grupo que será dada ao conjunto de reflexões associadas aos elementos do sistema de raízes. Ao sistema de raízes podemos associar um subgrupo de GL(E) que denotaremos por W, que é o subgrupo gerado pelas reflexões. Este grupo pode ser identificado a um subgrupo do grupo simétrico sobre F. Em particular, W é finito e é chamado de grupo de Weyl do sistema de raízes F. Dizemos que um sistema de raízes é irredutível se, e somente se, não pode ser escrito como união de dois conjuntos ortogonais. A cada sistema irredutível podemos associar uma matriz denominada de Cartan, a qual também pode-se associar um grafo de Coxeter que depende apenas da matriz de Cartan, isto é, depende apenas das reflexões associadas às raízes. Mostraremos que isso é equivalente a dizer que o grafo de Coxeter para tal conjunto é conexo. Podemos classificá-los de diversas maneiras, como por exemplo Dynkin e Euclidianos, que possuem propriedades algébricas e geométricas particulares interessantes. Para finalizar o trabalho apresentaremos como classificar os sistemas irredutíveis de raízes e a sua relação com os tipos especiais de diagramas Dynkin que conhecemos através dos conceitos que vimos sobre a matriz de Cartan, e grafo de Coxeter para provar que existem somente onze classes de sistemas de raízes irredutíveis, e que cada uma dessas classes está associada a um tipo especial de Diagrama Dynkin.

Palavras-chave: Sistemas de Raízes, Diagramas Dynkin, Grupo de Weyl