RESUMO

O objetivo deste trabalho é um estudo a respeito de desigualdades e técnicas para a prova destas. O estudo foi baseado no capítulo introdutório do livro de Zdravko Cvetkovski, intitulado Inequalities: Theorems, Thecniques and Selected Problems, Springer-Verlag 2012. Por exemplo, temos a desigualdade x4+y4+4xy+2≥0, e o objetivo é prová-la para todos x, y reais. Podemos fazê-lo raciocinando que x4 + y4 + 4xy + 2=(x4 −2x2y2 +y4)+(2x2y2+4xy + 2)=(x2–y2)2+2(xy+1)2≥0. Também é de importância observarmos que a desigualdade encontrada não é estrita, então, para alguns x, y reais, poderemos ter uma igualdade, ou seja, se tivermos x4 +y4 + 4xy +2 = 0, queremos descobrir quais são esses valores que x e y assumem para que valha a igualdade. Os mesmos valores de x e y para (x2 –y2)2 + 2(xy + 1)2 = 0 ser verdadeira são os que fazem com que valha a igualdade x4 +y4 + 4xy +2 = 0. Portanto, se (x2 –y2)2 + 2(xy + 1)2 = 0, então (x2 –y2)2=0 e 2(xy + 1)2 =0. Da segunda equação encontrada temos que (xy+1)²=0, então xy = -1, portanto x=-1/ y. Daí concluímos que x e y tem sinais opostos. Sejam, então x > 0, e y < 0. Da primeira equação teremos x²-y²=0, então x²=y², daí |x|=|y|, mas como x>0, temos que x=|y|. Daí, |y|=-1/y, e de y<0 temos que -y =1/y, isto é, y=-1, e daí x=1. Da mesma forma, x e y podem assumir os valores de -1 e 1 respectivamente. Seja agora, a desigualdade √x+√y+√z≥ xy+yz+zx. Queremos prová-la para x,y,z reais, tais que x+y+z=3. A solução se dá da seguinte forma: 3(x+y+z)=(x+y+z)² = x²+y²+z² +2 (xy+yz+zx), logo xy+yz+zx =1/2(3x –x² +3y – y² + 3z –z²). Substituindo temos √x + √y + √z − (xy +yz +zx) = √x + √y + √z +1/2(x² −3x + y² − 3y +z² −3z)= 1/2((x² −3x + 2√x)+(y² −3y +2√y)+(z² − 3z +2√z))= 1/2(√x(√x −1)²(√x +2) + √y(√y −1)²(√y +2) + √z(√z −1)²(√z +2)) ≥ 0, isto é, √x +√y +√z ≥ xy + yz +zx, como queríamos demonstrar. Novamente analisando que a desigualdade não é estrita, pensaremos em quais valores x, y e z podem assumir para que seja verdadeira a igualdade √x +√y +√z = xy + yz +zx. Podemos pensar da seguinte forma: 1/2(√x(√x −1)²(√x +2) + √y(√y −1)²(√y +2) + √z(√z −1)²(√z +2))=0 o que equivale dizer que (√x(√x −1)²(√x +2) = 0, √y(√y −1)²(√y +2)=0, √z(√z −1)²(√z +2))=0. Analisando agora: (a-1)²(a+2) é forma equivalente do polinômio a³-3a+2, que tem raízes 1 (dupla) , -2. Para a igualdade, temos que as igualdades (√x(√x −1)²(√x +2)=0, (√y(√y −1)²(√y +2)=0 e (√z(√z −1)²(√z +2)=0 devem ser simultaneamente satisfeitas. Porém, obedecendo a hipótese de que x, y e z devem ter soma igual a 1, teremos que x=y=z=1.

Palavras-chave: Desigualdades, Inequações, Aplicações