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Título
GRUPOS DE PERMUTAÇÕES: O LEMA DE BURNSIDE E A FUNÇÃO PHI DE EULER

Aluno: Wesley dos Santos Villela Batista - PET - Curso de Matemática (Licenciatura) (N) - Orientador: Marcelo Muniz Silva Alves - Departamento de Matemática - Área de conhecimento: 10101004 Palavras-chave: grupos de permutações; lema de burnside; problema de coloração.

Em um primeiro momento, fazemos uma pequena introdução à teoria de grupos; definimos grupos, subgrupos, ordem, classe lateral, ação, órbita e estabilizador, juntamente com alguns teoremas e resultados básicos, porém essenciais para o entendimento do restante do trabalho. Após essa introdução, voltamos nossa atenção aos grupos cíclicos, ou seja, aos grupos que podem ser gerados por apenas um elemento. Aqui exploramos algumas propriedades a respeito das relações entre as ordens de seus elementos, assim como os subgrupos gerados por eles. Dentre esses resultados, encontram-se alguns teoremas como, por exemplo, um que nos diz: Sejam G um grupo de ordem n, e g um elemento de G, então o subgrupo gerado por g^(k), com k natural, é o mesmo gerado por g^(mdc(n,k)) e a ordem de g^(k) é igual a n/mdc(n,k). Na sequência é apresentada a função phi de Euler, onde phi(n) é definida como sendo o número de inteiros positivos menores ou iguais a n que são coprimos com o mesmo. Logo após a definição, enunciamos um teorema que nos fornece a relação entre essa função e grupos cíclicos: temos que se G é um grupo de ordem n gerado por g, então o número de elementos de ordem d, com d menor ou igual a n, em G é igual a phi(d). Visto o que essa função nos fornece, seguimos em frente apresentando e definindo os grupos de permutações. Atentamos mais a mostrar resultados referentes à ordem e comprimento dos ciclos de um grupo de permutação, assim como a quantidade de elementos que cada transposição possui. Após toda essa abordagem, apresentamos o Lema de Burnside, o qual nos fornece o número de órbitas distintas dentro de uma ação. A última parte de nosso trabalho consiste em apresentar o conceito de (q,G)-coloração e em resolver o problema das roletas, o qual consiste em um problema de coloração. Primeiramente resolvemos para um caso específico utilizando o lema de Burnside e alguns teoremas introduzidos anteriormente, durante essa resolução percebemos que a dificuldade do problema fica proporcional à quantidade de setores circulares pertencentes a roleta, pois se a roleta possui n setores, temos que calcular e explicitar os n elementos do grupo com seus ciclos em sua forma fatorada. O fato da dificuldade na resolução ser proporcional a n, nos leva a buscar uma fórmula explicita para a resolução do caso geral em que não seja necessário conhecermos todos os elementos do grupo que está agindo. O trabalho é finalizado apresentando tal fórmula, para sua construção usamos vários resultados introduzidos anteriormente.