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Título
INTRODUÇÃO AOS CONJUNTOS FUZZY E PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO SOB INCERTEZA

Aluno: Nilmara de Jesus Biscaia Pinto - PET - Curso de Matemática (Bacharelado e Licenciatura) (T) - Orientador: Lucelina Batista dos Santos - Departamento de Matemática - Área de conhecimento: 10104003 - Palavras-chave: otimização; conjuntos fuzzy; programação não linear.

A Teoria de Conjuntos Fuzzy foi introduzida em 1965 por L. A. Zadeh. Este estudo surgiu ante a necessidade de dar tratamento matemático a certos termos subjetivos ou imprecisos. Nosso objetivo, neste projeto, foi estudar problemas de otimização sob incerteza utilizando, para este fim, o conceito de conjuntos fuzzy. Foram considerados problemas de otimização nos quais as funções envolvidas no problema - a função objetivo e as funções de restrições - possuem variáveis reais e assumem valores fuzzy. Para este fim, inicialmente estudamos o problema clássico de Programação Não Linear. Mais precisamente, os teoremas de existência de soluções e as condições necessárias e suficientes de otimalidade de tipos Fritz-John e Karush-Kuhn-Tucker, tendo sido de fundamental importância o Teorema de Separação de Hahn-Banach e o Teorema de Alternativa de Gordan. Também estudamos as principais propriedades das funções convexas e algumas generalizações deste conceito para o estudo das condições suficientes de otimalidade. Conjuntamente investigamos as principais propriedades dos conjuntos fuzzy e percebemos que as noções de conjuntos de nível e de números fuzzy foram cruciais para o prosseguimento do estudo. Vimos que os números fuzzy são conjuntos fuzzy cujos conjuntos de níveis são intervalos. Neste contexto, o Teorema de Negoitá-Ralescu é importante, pois estabelece condições necessárias e suficientes para que uma família de intervalos seja a família dos conjuntos de nível de um número fuzzy. Para funções fuzzy-valuadas, estudamos os conceitos de limite, continuidade e diferenciabilidade (no sentido de Hukuhara). Tais conceitos são interessantes, pois se "refletem" nas funções, de variáveis reais a valores reais, das extremidades dos intervalos que constituem os conjuntos de nível. Por exemplo, uma função fuzzy-valuada é contínua se, e somente se, as funções que constituem as extremidades dos intervalos dos conjuntos de nível são funções contínuas. E similarmente para as propriedades de diferenciabilidade. Também foi necessário estudar um conceito de ordem parcial no espaço dos conjuntos fuzzy que nos permitisse comparar dois números fuzzy. A partir de tais noções foram obtidas condições necessárias e suficientes de otimalidade para os problemas de otimização fuzzy, análogos às condições de Kuhn-Tucker para o caso de funções reais.