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Título
QUIVERS COM RELAÇÕES VINDAS DE CLUSTER (CASO AN)

Aluno: Cléber Barreto dos Santos - PIBIC/CNPq - Curso de Matemática (Bacharelado e Licenciatura) (T) - Orientador: Edson Ribeiro Alvares - Departamento de Matemática - Área de conhecimento: 10101004 - Palavras-chave: álgebra cluster; triangulação; quiver - Colaborador: Fernando de Araújo Borges.

As álgebras cluster formam uma classe de álgebras, introduzida por Fomin e Zelevinsky em 2002. Um cluster é um conjunto de n variáveis obtido recursivamente, por um processo chamado de mutação, a partir de um conjunto de n variáveis chamado de semente. Uma álgebra cluster de rank n é a álgebra gerada por todas as variáveis obtidas a partir das mutações na semente. Dado um polígono regular P de n+3 lados, definiremos uma triangulação T em P, como sendo um subconjunto das diagonais de P, que o particiona em triângulos e que não se intersectam. As diagonais presentes em T serão chamadas de raízes negativas e as que não pertencem a T serão chamadas de raízes positivas. Dada essa triangulação podemos definir uma categoria de diagonais, cujos objetos estão relacionados às raízes positivas e que satisfaz algumas propriedades.Também podemos definir a partir de T dois grafos t e Q, associados a T. Então, com um pouco mais de ferramentas colocaremos uma orientação nas arestas de Q. A partir dessa orientação, definiremos a categoria de módulos ModQ associada a Q. Definiremos um funtor que aditivo, linear nos complexos, que tem domínio C, e contradomínio ModQ, onde C é a categoria cujos elementos são somas formais das raízes e os morfismos são dados por um certo quociente de relações). Mostraremos que este funtor nos dá uma equivalência entre estas categorias. Este funtor nos permitirá relacionar os módulos indecomponíveis de ModQ e as diagonais e as raízes positivas de T. Por fim, usando esta equivalência, conseguiremos associar a categoria C, à teoria de Auslander-Reiten, e poderemos descrever todos os objetos projetivos e injetivos desta categoria. Usando todas as diagonais de P, poderemos definir uma nova categoria K, de forma análoga a construção de C. Quando T é uma triangulação correspondente a orientação de um quiver do tipo A_n, as categorias K e DModQ (categoria derivada) são equivalentes e também, neste caso, pode se provar uma conjectura que relaciona as variáveis cluster e os elementos indecomponíveis de ModQ.