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Título
TEORIA DAS DISTRIBUIÇÕES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS

Aluno: Bruno de Lessa Victor - PET - Curso de Matemática (Bacharelado e Licenciatura) (T) - Orientador: José Carlos Corrêa Eidam - Departamento de Matemática - Área de conhecimento: 10102000 - Palavras-chave: distribuições; equações diferenciais parciais; transformada de fourier.

Encontrar soluções de equações diferenciais parciais sempre foi um grande desafio da matemática. Com o passar do tempo e a prática, percebeu-se que estudar operadores diferenciais no espaço de funções não era suficiente. Era necessário generalizar o conceito de função. Em 1950, o matemático francês Laurent Schwartz publicou a obra Théorie des distributions, onde ele descreve pela primeira vez o conceito de distribuição da maneira como conhecemos atualmente. Distribuições são uma classe de funcionais lineares contínuos que agem em um espaço de funções, que chamaremos de funções-teste. Em outras palavras, dado um espaço de funções-teste, o conjunto das distribuições é o seu espaço dual topológico. O espaço de funções-teste escolhido é de grande relevância para a teoria. Os mais relevantes são: o espaço das funções infinitamente diferenciáveis com suporte compacto (ou seja, que se anulam a menos de um conjunto compacto) e o espaço das funções de Schwartz (de forma simples, funções infinitamente diferenciáveis que decaem rapidamente). As distribuições associadas ao segundo espaço são chamadas de distribuições temperadas. A grande vantagem desta generalização é que uma distribuição, assim como uma função, é "diferenciável", tendo o que chamamos de derivada fraca. Desta maneira, ao invés de espaços funcionais, podemos estudar equações diferenciais em espaços de distribuições (tais espaços em geral são bons para o estudo de operadores diferenciais, sendo espaços de Frechét). A transformada de Fourier, por exemplo, pode ser definida no espaço de distribuições temperadas. Evidentemente, depois de resolvida a equação diferencial, é importante saber a classe de regularidade da solução. Para isso, são introduzidos os espaços de Sobolev, os quais fornecem um ambiente adequado para estudo de regularidade de funções. Portanto, quando temos uma equação diferencial parcial, muitas vezes é mais fácil resolvê-la como distribuição, mesmo que sua solução seja, de fato, uma função. Neste trabalho, além de abordar todos os conceitos citados com maior profundidade, mostraremos como utilizar a teoria de distribuições para estudar equações diferenciais parciais.