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Título
SÉRIES DE FOURIER E O TEOREMA DE FEJÉR

Aluno: Arthur Rezendde Alves Neto - PET - Curso de Matemática (Bacharelado e Licenciatura) (T) - Orientador: Cléber Medeira - Departamento de Matemática - Área de conhecimento: 10102000 - Palavras-chave: séries de fourier; teorema de fejér; polinômios trigonométricos.

A teoria de Séries de Fourier é uma ferramenta muito útil com várias aplicações em problemas matemáticos, por exemplo, ela está intimamente ligada com a busca de soluções de algumas equações diferenciais parciais que modelam problemas reais. Estudamos vários teoremas fundamentais, como os teoremas de convergência, algumas estimativas e a forma complexa de uma Série de Fourier. Dada uma função contínua e periódica, uma propriedade desejável seria que sua série de Fourier fosse igual em cada ponto à função dada, porém isso nem sempre ocorre, mais que isso, existem exemplos de funções contínuas cuja Série de Fourier diverge em todos os pontos. Embora isso ocorra, sabe-se do Teorema de Aproximação de Weierstrass que toda função contínua em um intervalo compacto pode ser aproximada na topologia uniforme por polinômios. Vinte anos após Weierstrass estabelecer esse resultado um jovem de 19 anos chamado Lipót Fejérmostra usando somas parciais de séries de Fourier que toda função contínua pode ser aproximada uniformemente por polinômios trigonométricos e como consequência disso temos outra versão da demonstração do Teorema de Weierstrass, agora através das séries de Fourier. Nesse trabalho apresentaremos o Teorema de Fejér que tem como base em sua demonstração, séries de Fourier e a noção de convergência de Césaro (ou convergência em média) para aproximar funções definidas em intervalos compactos. Também serão apresentadas outras consequências do Teorema de Fejér além do teorema de aproximação, como por exemplo, a unicidade da Série de Fourier de uma função contínua e a convergência, em média quadrática, de séries de Fourier de funções de quadrado somável. O entendimento desses resultados norteará o desenvolvimento do trabalho que tem como principal objetivo aplicar o método de Fourier no estudo de soluções de algumas equações diferenciais parciais.