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Título
UMA INTRODUÇÃO À GEOMETRIA SIMPLÉTICA E APLICAÇÕES

Aluno: Aline Zanardini - Curso de Matemática (Bacharelado e Licenciatura) (T) - Orientador: Carlos Eduardo Durán Fernández - Departamento de Matemática - Área de conhecimento: 10103015 - Palavras-chave: geometria simplética; cálculo das variações; equações de hamilton.

O presente trabalho é uma introdução a um dos ramos da Geometria Diferencial conhecido como Geometria Simplética, que tem suas origens no formalismo Hamiltoniano da mecância clássica. Em linhas gerais, a Geometria Simplética possui como espaço subjacente uma variedade simplética, que consiste num par: uma variedade (diferenciável), sempre de dimensão par, junto com uma forma simplética, que é uma 2-forma fechada e não degenerada. Dada uma variedade simplética seus automorfismos são chamados de simplectomorfismos. Em suma, podemos entender a Geometria Simplética como sendo o estudo das propriedades que permanecem invariantes sob a ação do grupo de simplectomorfismos de uma certa variedade simplética. Talvez o exemplo mais significativo de uma variedade simplética seja o espaço total do fibrado cotangente de qualquer variedade, cuja estrutura simplética é bastante natural e consiste no negativo da derivada exterior do que se conhece por 1-forma tautológica. Dentre as subvariedades de uma variedade simplética temos uma classe especial, de dimensão metade, conhecidas como subvariedades Lagrangeanas. De fato é bastante conhecido na literatura o chamado lagrangian creed de Weinstein de que tudo é uma subvariedade Lagrangeana. Observamos que dada uma variedade simplética o fato da forma simplética associada ser não degenerada implica que seu produto exterior máximo é uma forma de volume na variedade. Além disso, a restrição "ser fechada' nos diz que, localmente, todas as variedades simpléticas (de mesma dimensão) são indistinguíveis, resultado conhecido como Teorema de Darboux. Neste trabalho definiremos e estudaremos conceitos de Geometria Simplética buscando por aplicações, uma vez que esta é a formulação matemática que ainda hoje encontramos em diferentes áreas da física como a mecânica clássica, a ótica geométrica e a termodinâmica. Em particular nos interessa como a Geometria Simplética possui raízes no Cálculo das Variações e qual sua relação com as equações de Hamilton.