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Aluno - Queila Alves dos Santos - IC-Jovens Talentos - Curso de Matemática (Licenciatura) (N) - Orientador : Yuan Jinyun - Departamento de Matemática.

Título
ESTUDO DE MÉTODO DE PROJEÇÃO DIRETO

Área de conhecimento: 10104020 - Palavras-chave: projeção direta; método interativo ; método row-action.

O método de Row-action é um método de projeção paraa resolver os sitemas das equações lineares. O método foi definido da seguinte maneira: dado o ponto inicial x0 qualquer. Projetamos x0 para um hiperplano definido por uma das equações do sistema, obtemos um ponto de x1. Projetamos x1 para outro hiperplano definido por uma equação dos restos, repitiremos o processo até xk satisfazer a precisão da solução aproximada. O método é muito util na tomografia. Mas a convergência do método pode ser demorada, especificamente quando as linhas da matriz coeficiente do sistema linear for quase linearmentes dependentes. Para melhorar a convergência deste método, generalizamos a ideia de projetar os pontos aproximados para interseção dos hiperplanos. Este melhoramento chama-se método de projeção direto. O método de projeção direto é generalização do método Row-action que projeta o ponto ao um hiperplano em cada passo, isto é, xk é projetado ao (k+1)-éssimo hiperplano, mas xk é projetado á interseção dos primeiros k+1 hiperplanos no método de projeção direto definido. Em primeiro passo, projetamos um ponto inicial x0 para o primeiro hiperplano definido pela primeira equação do sistema, achamos x1. No segundo passo, projetamos x1 para interseção dos dois hiperplanos definidos  pelas primeiras duas equações do sistema, obtemos x2, continuamos projetar x2 para interseção  dos três hiperplanos definidos pelas primeiras três equações do sistema. Continuamos o processo até projetarmos o ponto aproximado para interseção dos hiperplanos definidos por todas as equações do sistema. Vamos usar a linguagem de algebra linear para definir o método. Seja A matriz real m x n dado por A= ( a1^T ... am^T)^T . Definimos um vetor não nulo p pertencente R^n é solução básica de Ax=0 se Ap=0. Ainda definimos que p1, ..., pk soluções básicas linearmentes independentes de A se p1, ..., pk são linearmentes independentes e Api=0 para todos os i= 1, ..., k. Seja A definida por   A=( a1^T   a2^T ....an^T)^T e b= (b1  b2 ... bn)^T onde ai= (ai1,ai2, ...., ain), b pertence R^n, i= 1, 2, ..., n. Também Ai é sub-matrizes consistindo de primeiras i linhas de A. Ai= (a1^T ... ai^T)^T então An=A. Na parte de teoria, provamos que propriedades de não singularidade de A é linearmente independente das linhas de A em sentido de soluções básicas. Além disso construimos as soluções básicas iterativamente para matriz A explicitamente. Com as soluções básicas  podemos decidir o posto da matriz A, e achamos a solução do sistema linear Ax=b. Os resultados matemáticos seram provados com rigor matemático.