Aluno de Iniciação Científica: Matheus Augusto Bannack Diniz (PET)
Curso: Matemática (Bacharelado e Licenciatura)
Orientador: José Renato Ramos Barbosa
Departamento: Matemática
Setor: Ciências Exatas
Palavras-chave: bifurcações , constante de Feingenbaum , teorema de Sarkovsky
Área de Conhecimento: 10104003 - MATEMÁTICA APLICADA
O Método de Newton é um método numérico iterativo de convergência rápida que nos permite obter raízes de funções diferenciáveis adequadas, por exemplo. Contudo, uma impressionante aplicação deste método é a demonstração de um dos teoremas mais importantes da matemática, o Teorema da Função Implícita (que é de suma importância no estudo de sistemas dinâmicos). Já como outra consequência do Método de Newton, podemos citar a obtenção de uma constante muito interessante no que se diz respeito ao estudo de sistemas dinâmicos, a constante de Feigenbaum, que é definida por δ = 4,6692... e que foi descoberta em 1975 pelo físico Mitchell Feigenbaum quando o mesmo pôde perceber certa regularidade na cascata de duplicações de período da equação logística. Esta última equação é utilizada na modelagem populacional e é dada por Lμ(x) = μx(1 – x), onde “μ” é um parâmetro real positivo e “x” representa a proporção da população. Sendo assim, inicialmente estabeleceremos alguns conceitos básicos relacionados aos sistemas dinâmicos para que, com estas ferramentas em mãos, possamos introduzir dois tipos de bifurcações (a bifurcação nó-sela e a bifurcação de duplicação do período). Introduzidos estes dois “aspectos”, poderemos apresentar uma renormalização para a constante de Feigenbaum (tal renormalização é definida por α = 2,5029...). Em seguida, mencionaremos dois teoremas importantes relacionados à dinâmica de mapas unidimensionais: o primeiro deles, o teorema de Sarkovsky, afirma sucintamente que se um mapa apresenta alguma órbita periódica de período três, então apresentará órbitas periódicas de todos os períodos; o segundo, o teorema de Singer, categoriza a existência de apenas uma órbita periódica estável para um determinado mapa. Por fim, exibiremos o fenômeno da intermitência, que é uma das possíveis rotas para se detectar caos em sistemas dinâmicos.