Aluno de Iniciação Científica: Carolina de Almeida Santos Pinotti (PET)
Curso: Matemática (Bacharelado e Licenciatura)
Orientador: Carlos Henrique dos Santos
Departamento: Matemática
Setor: Ciências Exatas
Palavras-chave: Integral de Lebesgue , Convergência , Série de Fourier
Área de Conhecimento: 10104003 - MATEMÁTICA APLICADA

Um grande problema enfrentado ao aplicar a teoria das Séries de Fourier refere-se à convergência. Uma função contínua em [a,b] nem sempre tem sua Série de Fourier pontualmente convergente para f nesse intervalo. Seus coeficientes são dados pela integral de Riemann, que não se comporta bem quanto à convergência. A necessidade de uma convergência uniforme dificulta a obtenção de alguns resultados. No caso de uma integral mais apropriada e condições específicas, esse problema é superado. Os Teoremas da Convergência Monótona e da Convergência Dominada são dois resultados que não valem para a integral de Riemann. Com a integral de Lebesgue, os espaços vetoriais adquirem propriedades importantes de espaços norma dos, espaços com produto interno, espaços de Banach, espaços de Hilbert e em especial a ortogonalidade que, por sua vez, revela informações muito úteis no estudo das Equações Diferenciais. Temos uma ferramenta para medir as aproximações, as convergências de sequências: convergência em dada norma. Além disso, temos a relação de inclusão de espaços com a preservação das estruturas: C([a,b]) é  denso em L²([a,b]) e este está contido em L¹([a,b]). Embora convergência em L² não implique convergência uniforme, possui uma importante propriedade em relação a integral de Lebesgue: a integração termo a termo de sequências convergentes. As funções contínuas em [a,b] estão em L²([a,b]). Notemosque L²([a,b]) é um espaço de Hilbert. Com relação à Análise de Fourier, o problema se refere à convergência: dada uma função em L²([-l,l]), não sabemos se sua série converge e, convergindo em x, se converge para f(x). Na realidade, f em L²([a,b]) tem sua série de Fourier convergente para f em L². Estamos interessados na convergência pontual da série de Fourier de f para f(x), num certo x. Muitas vezes necessitamos da convergência uniforme para operar com a série de Fourier. Nesses casos lançamos mão de resultados esparsos que dependem de virtudes particulares da função além das propriedades do espaço ao qual f pertence. Veremos que se f é uma função em L²([-l,l]) e derivável num ponto c de [-l,l], então a série de Fourier de f converge para f(c) em x=c. Também, veremos que se f é uma função em L¹([a,b]) e tem derivadas laterais num ponto c de (-l,l), então a série de Fourier de f converge para a média dos limites laterais de f em x=c. Numa situação bem mais particular, veremos também que se f é seccionalmente contínua em R, periódica de período 2l, com derivada f’ seccionalmente contínua e de período 2l, então a série de Fourier de f converge uniformemente para f em R. 

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