Aluno de Iniciação Científica: Larissa Kovalski (PET)
Curso: Matemática (Bacharelado e Licenciatura)
Orientador: Higidio Portillo Oquendo
Departamento: Matemática
Setor: Ciências Exatas
Palavras-chave: Equações de recorrência , Pontos de equilíbrio , Operadores
Área de Conhecimento: 10103040 - SISTEMAS DINÂMICOS
Uma equação de diferença geralmente descreve a evolução de certos fenômenos de acordo com um certo tempo discreto, com o objetivo de achar a função que o descreve a partir de uma relação de recorrência. Neste trabalho serão mostradas as principais técnicas para resolvermos equações de diferenças lineares de primeira e segunda ordem, encontrando seus pontos de equilíbrio e estudando a estabilidade dos mesmos. A noção de pontos de equilíbrio (ou estados de equilíbrios) é central para o estudo da dinâmica de qualquer sistema físico. Em muitas aplicações de diversas áreas, como biologia, economia, física, engenharia, etc. é desejável que todos os estados (soluções) de um sistema dado tenda a seu estado de equilíbrio. Equações diferenciais têm sido amplamente utilizadas como modelos matemáticos para uma grande variedade de fenômenos físicos e artificiais, mas nem sempre é possível explicitar as soluções, neste caso precisamos usar um método numérico para aproximar tais soluções, recaindo em muitos casos numa equação de recorrência. Além dos estados de equilíbrio será apresentado uma noção que é muito importante no estudo de sistemas dinâmicos que é a noção de periodicidade e ciclos, levando ao estudo de estados ou ciclos atratores. Também, veremos que em equações de diferenças de ordens maiores pode ser introduzido o cálculo de operadores de diferenças que é uma analogia discreta do operador diferencial. Neste ponto serão obtidos resultados análogos aos teoremas fundamentais do Cálculo Diferencial envolvendo os dois operadores essenciais que são o operador de diferença e o operador “shift” (operador de deslocamento). Apresentaremos técnicas para encontrar soluções para diversas equações de diferenças homogêneas e não homogêneas e um breve estudo sobre o comportamento de suas soluções, e alguns métodos para resolver equações não lineares transformando-as em equações lineares concluindo todo este trabalho com algumas aplicações.