Aluno de Iniciação Científica: Jânio de Jesus Cardoso (PET)
Curso: Matemática (Bacharelado e Licenciatura)
Orientador: Eduardo Outeiral Correa Hoefel
Departamento: Matemática
Setor: Ciências Exatas
Palavras-chave: Geometria Diferencial , Curvas Planas , Curvas no Espaço
Área de Conhecimento: 10103015 - GEOMETRIA DIFERÊNCIAL
O objetivo deste trabalho é fazer uma abordagem introdutória de curvas planas e curvas no espaço. Para posteriormente, estudar curvas e superfícies em espaços de curvatura constante e relacionar os invariantes de curvas e superfícies para classificação de casos particulares e exemplos. A ideia deste trabalho inicia-se com uma revisão de geometria analítica, abordando conceitos básicos como produto escalar e produto vetorial, e tópicos de álgebra linear, como dependência linear, produto interno e a norma euclidiana. Para assim, introduzir noções fundamentais de geometria diferencial. Neste primeiro momento trabalhando apenas com a geometria diferencial clássica. Denotaremos por R³ o conjunto dos ternos ordenados (x, y, z) de números reais. Nosso objetivo é caracterizar certos subconjuntos de R³ (a serem chamados de curvas) que são, em um certo sentido, unidimensionais e aos quais possam ser aplicados métodos de calculo diferencial. Uma maneira natural de definir esses subconjuntos é através de funções diferenciáveis. Diremos que uma função de uma variável real é diferenciável (ou suave) se ela possui, em todos os pontos, derivadas de todas as ordens (que são automaticamente contínuas). Uma primeira definição de curva, não inteiramente satisfatória, embora suficiente seja descrita dando as coordenadas de seus pontos como funções de uma variável independente. A proposta do nosso trabalho é inicialmente, definimos uma curva parametrizada diferençável, apresentado alguns exemplos, também como vetor tangente, mudança de parâmetro e comprimento de arco. Apresentaremos também a teoria local das curvas planas e as Fórmulas de Frenet. Em seguida, introduziremos a teoria local de curvas no espaço euclidiano R³. Como veremos muitos conceitos básicos para curvas no espaço são introduzidos de modo análogo ao de curvas planas.
