ANÁLISE REAL E NÚMEROS ESPECIAIS

Aluno de Iniciação Científica: Bruno de Lessa Victor (PET)
Curso: Matemática (Bacharelado e Licenciatura)
Orientador: José Carlos Corrêa Eidam
Departamento: Matemática
Setor: Ciências Exatas
Palavras-chave: Análise Real , Números Especiais , Pi, gama, e.
Área de Conhecimento: 10102000 - ANÁLISE

A matemática é antes de tudo uma ciência baseada em números. É claro que eles podem ser estudados por si só ou podem ser utilizados como ferramenta para basicamente todos os objetos de estudo de um matemático. Afinal, estes objetos vêm, em geral, de problemas onde se procura abstrair fenômenos naturais e obter modelos de comportamento, e os números são vitais neste processo. No decorrer do desenvolvimento da matemática, alguns deles se demonstraram mais importantes que outros. Três destes são e, pi e gama. O primeiro foi descoberto apenas por volta do século XVII; ele apareceu através do cálculo diferencial, na tentativa de encontrar a primitiva da função 1/x, e também através de um limite relacionado à matemática financeira, onde Jacob Bernoulli obteve uma primeira aproximação dele. A função exponencial com base e é a única solução não trivial da equação diferencial f(x) = f’(x). A constante de Napier, além de ser o número mais importante do Cálculo, tem contribuições muito grandes na estatística. O segundo, é a razão entre o perímetro de uma circunferência e seu diâmetro, sendo conhecido há aproximadamente 4000 anos. Além de obviamente ser extremamente importante para a geometria, a constante de Arquimedes é encontrada em outros ramos da Matemática (Teoria de Números, Fractais), Estatística e na Física (Mecânica, Ondulatória). O último, por sua vez, é definido como o limite da diferença entre a série harmônica e o logaritmo natural de n, quando este tende ao infinito; tendo sido citado pela primeira vez por Euler, por volta de 1740. A constante de Euler-Mascheroni é muito importante para a Análise e Teoria de Números. Neste trabalho, desenvolvemos as ferramentas analíticas necessárias para construirmos, do ponto de vista da Análise Real, os três números citados. Iremos, através da Teoria de Séries Infinitas, obter boas aproximações deles, além de demonstrarmos a irracionalidade dos dois primeiros. Ademais, provaremos algumas desigualdades interessantes que os relacionam, como a fórmula de Stirling. 

 

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