Aluno de Iniciação Científica: Thamara Petroli (PET)
Curso: Matemática (Bacharelado e Licenciatura)
Orientador: Cristián Ortiz
Departamento: Matemática
Setor: Ciências Exatas
Palavras-chave: Sistemas Dinâmicos , Homeomorfismos , Topologia
Área de Conhecimento: 10101063 - GEOMETRIA ALGÉBRICA
A Teoria de Sistemas Dinâmicos estuda fenômenos que evoluem com o tempo e apresentam um comportamento determinístico. Tais fenômenos acontecem em diversas áreas da ciência, como: biologia, física, meteorologia, economia, entre outras. Em geral, um fenômeno determinístico é modelado por uma equação diferencial e o principal objetivo dos sistemas dinâmicos consiste em prever a evolução do sistema a longo prazo. A partir de então, o estudo de sistemas dinâmicos faz uso de ferramentas de várias áreas da matemática, incluindo: geometria, topologia, probabilidades, álgebra e análise. Nosso principal objetivo é fazer um estudo qualitativo das equações diferenciais. E conhecido que tal estudo pode ser abordado através da aplicação de primeiro retorno de Poincaré, i.e., podemos estudar equações diferenciais através da iteração de um homeomorfismo de um espaço topológico dado. Motivados pelo estudo de fluxos no toro de dimensão dois, neste trabalho estamos interessados no estudo da dinâmica de homeomorfismos do círculo. Para tal estudo, introduziremos conceitos básicos da teoria de sistemas dinâmicos, tais como: órbitas, pontos periódicos, transitividade, minimalidade e conjugação topológica. Mais a diante, apresentaremos uma classe muito importante de sistemas dinâmicos no círculo unitário, a saber, as rotações do círculo. Provamos que a dinâmica de uma rotação com ângulo racional é simples no sentido em que todas as órbitas são periódicas e com o mesmo período. Por outro lado, mostraremos que uma rotação de um ângulo irracional apresenta uma dinâmica de tipo caótico. Em seguida, estudamos a dinâmica de homeomorfismos do círculo que preservam orientação. Mostraremos que a dinâmica de tais homeomorfismos esta completamente determinada por um número real chamado número de rotação.
