Aluno de Iniciação Científica: Jeferson Diniz Iniesta (PIBIC/Fundação Araucária)
Curso: Matemática (Licenciatura)
Orientador: Marcelo Muniz Silva Alves
Departamento: Matemática
Setor: Ciências Exatas
Palavras-chave: Álgebra , Grupo , Anel
Área de Conhecimento: 10101004 - ALGEBRA
O objetivo deste trabalho foi estudar os fundamentos da teoria de módulos e da teoria de representações de grupos e mostrar uma aplicação aos códigos corretores de erros. Para isso, começamos por estudar módulos sobre anéis. Dado um anel R, um R-módulo é um grupo abeliano aditivo M que, com os “escalares de R”, satisfaz os mesmos axiomas de espaços vetoriais. Um módulo é simples se não tem submódulos não-triviais, e um módulo é semi-simples se todo submódulo tem complemento; o anel R é semi-simples se é semi-simples como R-módulo à esquerda (de modo equivalente, à direita). Uma caracterização dos anéis semi-simples é dada pelo Teorema de Wedderburn-Artin: R é semi-simples se e somente se é isomorfo a um produto direto de álgebras de matrizes sobre anéis de divisão (contendo R), onde cada anel de divisão é isomorfo a um ideal bilateral de R. Este resultado foi fundamental para estudar a conexão entre módulos e representações de grupos, dada pelos anéis de grupos. Sendo G um grupo e R um anel, o anel de grupo RG é o R-módulo livre com base G, com produto induzido pela operação em G. Um critério para determinar quando RG é semi-simples é dado pelo Teorema de Maschke, que diz que RG é semi-simples se e somente se três condições são válidas: R é um anel semi-simples, G é um grupo finito, e |G| (o número de elementos de G) é invertível em R. Considerando agora R = K, K um corpo, uma representação T de um grupo finito G sobre K é um homomorfismo T de G em GL(V), onde GL(V) é o grupo dos operadores lineares invertíveis de um K-espaço vetorial V de dimensão n. Isto facilita o trabalho, já que, desta maneira, cada elemento do grupo é representado por uma matriz. Além disso, prova-se que representações sobre K correspondem a KG-módulos. Uma representação é dita irredutível quando V é não-nulo e os únicos subespaços invariantes de V por cada T(g) são os triviais. Vimos que uma representação é irredutível se e somente se o KG-módulo correspondente é simples. O caractere XV associado a uma representação T de G em V é a função que associa a cada elemento g do grupo o traço da matriz T(g). Mostramos que quando KG é semi-simples, todas as representações irredutíveis de G correspondem a ideais à esquerda de KG, e que grande parte da informação sobre as representações pode ser recuperada através dos caracteres de G.