Aluno de Iniciação Científica: Hugo Henrique Bernardelli (PIBIC/UFPR-TN)
Curso: Matemática (Bacharelado e Licenciatura)
Orientador: Edson Ribeiro Alvares
Co-Orientador: Marcelo Muniz Silva Alves
Departamento: Matemática
Setor: Ciências Exatas
Palavras-chave: Extensão de Galois , Produto Cruzado , Ações de Grupos
Área de Conhecimento: 10101004 - ALGEBRA
Neste trabalho estudamos ações parciais e globais de grupos em k-álgebras e a teoria de Galois de extensões para cada caso. Seja A uma k-álgebra e G um grupo que age por automorfismos de anéis, ou seja, G age em A (como conjunto) e cada elemento de g age como um automorfismo de A. O conjunto de elementos de A fixados por cada elemento de G é uma subálgebra de A, chamada de subálgebra de invariantes de A e denotada por Inv(A,G). Uma segunda álgebra associada a uma ação é o produto cruzado A[G] de A por kG, que como k-espaço vetorial é o produto tensorial de A por kG, e como álgebra tem uma multiplicação que realiza a ação de A em G por automorfismos internos. Pode-se escrever os geradores de A[G] como ag, com a em A e g em G, e o produto é dado nos geradores por (ag)(bh)=ag(b)gh. A álgebra A tem uma estrutura natural de A[G]-módulo à esquerda por (ag)b=ag(b); pode-se também definir uma estrutura (mais elaborada) de A[G]-módulo à direita em A, e conclui-se que A é Inv(A,G)-A[G]-bimódulo e A[G]-Inv(A,G)-bimódulo. Com isso pode-se estabelecer um contexto de Morita entre Inv(A,G) e A[G]. Analisando os elementos que compõem este contexto obtém-se por fim uma série de condições equivalentes à condição que o contexto seja estrito, ou seja, que estabeleça uma equivalência de categorias; neste caso, dizemos que a extensão de álgebras Inv(A,G) por A é uma extensão de Galois. Este mesmo estudo foi repetido com ações parciais de grupos em k-álgebras. Ações parciais são ferramentas poderosas no estudo de operadores de álgebras . Várias classes relevantes de C*-álgebras são estudadas do ponto de vista de ações parciais. Aqui considera-se A comutativo e p a ação parcial de G em A. Como no caso de ações (globais), pode-se construir o produto cruzado parcial A[G;p] e a subálgebra de invariantes parciais Inv(A,G,p), e define-se ação parcial de Galois de modo análogo ao caso anterior. Prova-se novamente uma série de condições similares às do caso clássico para que a extensão Inv (A,G,p) por A seja uma extensão de Galois parcial e, sob mais algumas condições tem-se um contexto de Morita entre Inv(A,G,p) e A[G].