GRUPOS LIVRES 

Aluno de Iniciação Científica: Clauciane Dias de Lima (PIBIC-AF/CNPq)
Curso: Matemática (Bacharelado e Licenciatura)
Orientador: Marcelo Muniz Silva Alves
Departamento: Matemática
Setor: Ciências Exatas
Palavras-chave: grupos livres, geradores
Área de Conhecimento: 10101004 - ALGEBRA

Neste projeto estudamos ações de grupos e aplicações a grupos livres,com o objetivo de utilizar estas construções em situações análogas em álgebras de Hopf. No estudo de grupos finitamente gerados, costuma-se especificar o grupo através de uma lista de geradores do grupo e de equações que os geradores devem satisfazer. Uma questão que este procedimento sugere é a seguinte: dados um conjunto finito X e uma lista de equações envolvendo potências formais dos elementos de X,existe um grupo gerado pelos elementos de X e que satisfaz esta lista de equações? A resposta é que sim, este grupo existe, e para provar sua existência precisamos da construção do grupo livre L(X) sobre X.A propriedade que determina L(X) é a seguinte: se G é um grupo, toda função de X em G pode ser estendida a um homomorfismo de grupos de L(X) em G. A partir disso, mostramos que um grupo dado por geradores e relações corresponde a um grupo dado como um quociente específico deum grupo livre. Em seguida, passamos ao estudo de ações de grupos em grafos. Uma ação de um grupo G em um grafo g é um homomorfismo de G no grupo de automorfismos do grafo g. A cada grupo G com um conjunto de geradores X pode ser associado um grafo (não orientado) g(G,X), seu grafo de Cayley, no qual o grupo G age de modo que o único elemento de G que age com pontos fixos é o neutro; diz-se neste caso que a ação é livre. O grafo de Cayley permite dar uma caracterização topológica de L(X) : o grupo G é o grupo livre gerado por X se e somente se o grafog(G,X) é uma árvore, isto é, um grafo conexo que não contém ciclos.Generalizando, prova-se que se um grupo G age livremente em uma árvore então G é um grupo livre. Com isso, conseguimos provar o Teorema de Schreier: todo subgrupo de um grupo livre também é um grupo livre.Utilizando o que foi visto, estudamos os grupos de Coxeter. Um grupo de Coxeter, ou sistema de Coxeter, é um grupo dado por um par (W,S)onde W é um conjunto de geradores e S é um conjunto de relações, sendo que o subgrupo gerado por quaisquer dois geradores é um grupo diedral(finito ou infinito). A partir do que vimos, sabemos que (W,S)determina um grupo, e neste caso consegue-se provar que este grupo nãoé trivial.

 

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