Aluno de Iniciação Científica: Bruno Suzuki (PET)
Curso: Matemática (Bacharelado e Licenciatura)
Orientador: Aldemir José da Silva Pinto
Departamento: Matemática
Setor: Ciências Exatas
Palavras-chave: Grupo fundamental , Topoligia Algébrica , Homotopia
Área de Conhecimento: 10101004 - ALGEBRA
No trabalho Analysis Situs, publicado em 1984, Henri Poincaré utilizou as ferramentas da Álgebra para demonstrar teoremas da Topologia, dando início ao que hoje se conhece por Topologia Algébrica. Dentre as muitas descobertas de Poincaré estão a homotpia, o grupo fundamental e vários teoremas, alguns dos quais só foram demonstrados muitos anos depois. Um das questões estudadas em Topologia Algébrica é o homeomorfismo entre espaços topológicos. Dois espaços são ditos homeomorfos se existe uma função contínua, bijetora, e com inversa contínua entre eles. Outro tópicos estudado é a homotopia. A homotopia é uma relação entre funções contínuas. Geometricamente, duas funções são homotópicas se o gráfico de uma pode ser deformado continuamente no gráfico da outra. A homotopia relativa é um tipo mais forte de homotopia no qual existe um conjunto de pontos da imagem das funções que permanecem fixos na homotopia. São estudadas as homotopias entre caminhos fechados em algum ponto c (funções contínuas com imagem em [0,1] e imagem em algum espaço topológico X), e descobre-se que a homotopia é uma relação de equivalência entre caminhos fechados com mesma imagem e fechados em um mesmo ponto. Além disso, definindo uma operação conveniente entre esses caminhos e suas classes, o conjunto formado por todas elas forma um grupos, isto é, a operação possui um elemento neutro, cada classe possui um elemento inverso e é associativa. Chama-se então esse grupo de Grupo Fundamental ou Grupo de Poincaré de X com ponto base c. Com isso, podemos utilizar a Teoria de Grupos para descobrir algumas propriedades de alguns Grupos Fundamentais: relação entre Grupos Fundamentais com pontos base diferentes, comutatividade (quando o Grupo Fundamental é um grupo abeliano), homomorfismos. O Grupo Fundamental do Círculo é um dos grupos fundamentais mais conhecidos e estudados. Com ele é introduzido o conceito importante, embora bastante geral, de levantamento de caminhos. Um importante resultado é que o Grupo Fundamental do Círculo e conjunto dos números inteiros são grupos isomorfos.
