Aluno de Iniciação Científica: Aline Zanardini (Outro)
Curso: Matemática (Bacharelado e Licenciatura)
Orientador: Lucelina Batista dos Santos
Co-Orientador: Eduardo Outeiral Correa Hoefel
Departamento: Matemática
Setor: Ciências Exatas
Palavras-chave: geometria euclidiana , transformações do plano , isometrias
Área de Conhecimento: 10100008 - MATEMÁTICA
Neste trabalho estudamos o grupo das isometrias do Plano Euclidiano. Desenvolvemos a teoria apoiando-nos na axiomática proposta por Hilbert e consideramos o Plano Euclidiano como conjunto de pontos. O conceito fundamental é o de transformação e portanto iniciamos com uma abordagem as transformações do Plano Euclidiano. Uma transformação do plano é uma função bijetora que transforma uma figura geométrica em outra figura geométrica. Tratamos também de alguns conceitos algébricos, como a noção de grupo, em particular, mostramos que o conjunto de todas as transformações do plano munido da operação de composição de funções forma um grupo. A todo subgrupo deste grupo chamamos de grupo de transformações do Plano Euclidiano. Conforme proposto por Felix Klein, em seu programa Erlangen, podemos caracterizar uma geometria em termos das propriedades de um conjunto de pontos que permanecem invariantes sob ação de um certo grupo de transformações. Daí a importância de se estudar o grupo das isometrias do Plano Euclidiano, o grupo de transformações do plano que caracteriza a Geometria Euclidiana. Define-se uma isometria como uma função que preserva distâncias. Mostramos que o conjunto I de todas as isometrias do Plano Euclidiano munido da operação de composição de funções é de fato um grupo de transformações do Plano Euclidiano e estudamos as propriedades das figuras geométricas que são invariantes sob a aplicação de uma isometria. Provamos o chamado Teorema das Três Reflexões e concluímos que toda isometria do plano pode ser obtida por composição de no máximo três reflexões em retas. Generalizamos, e provamos que no grupo das isometrias do Plano Euclidiano a reflexão em retas é uma transformação irredutível. Estabelecemos o conceito de orientação do plano e classificamos os elementos do conjunto I, a saber: reflexões, translações, rotações e translações refletidas.
